函数凹凸性的判断「arctanx的凹凸性和拐点」

想必现在很多小伙伴都想了解函数凹凸判断的知识，所以今天小编就为大家收集了一些关于arctanx凹凸和拐点的知识，与大家分享。我希望你会喜欢的。

1、判断函数凹凸，arctanx凹凸和拐点？

①arctanx-x凹凸和拐点？答案如下：

∵y'=1/(1 x²)-1=-x²/(1 x²)≤0

∴y=arctanx-xR上是单调递减函数

函数没有极值

y"=-2x²/(1 x²)=-2x/(1 x²)²

令y"=0则x=0∴x=0即为拐点

令y">0则x<此时为凹函数

令y"<0则x>此时为凸函数

②arctanx-x凹凸和拐点？答案如下：

∵y'=1/(1 x²)-1=-x²/(1 x²)≤0

∴y=arctanx-xR上是单调递减函数

函数没有极值

y"=-2x²/(1 x²)=-2x/(1 x²)²

令y"=0则x=0∴x=0即为拐点

令y">0则x<此时为凹函数

令y"<0则x>此时为凸函数

2、如何记住二阶导数的凹凸性？

1、定义为：

设函数f(x)如果I中的任何两点在区间I上有定义x₁和x₂,和任意λ∈(0，1)都有:

f(λx₁ (1-λ)x₂)>=λf(x₁) (1-λ)f(x₂)，

则称f为I上面的凸函数，如果不等号严格成立，即“>"号成立，则称f(x)I上是严格的凸函数。

同样，如果“>=“换成“<=就是凹函数。也有类似的严格凹函数。

2.从几何上看:

在函数f(x)图像取任何两点。如果函数图像总是在连接这两点的线段下方，则该函数为凹函数。同样，如果函数图像总是连接到这两点之间的线段上方，则该函数为凸函数。

直观地说，凸函数是图像向上突出的。

如果函数f(x)二阶可导在区间I上，f(x)凸函数在区间I上的充要条件是f''(x)<=0;f(x)凹函数在区间I上的充要条件是f''(x)>=0。

3、为什么二阶导数可以判断单调性和凹凸性？

单调性主要通过一阶导数来判断。一阶导数的正负是原函数的增减。然而，有时一阶导数无法确定正负。此时，需要二阶导数来确定。根据二阶导数的正负，确定一阶导数的增减，从而确定定义域内的正负，然后确定原函数的增减。

二阶导数一般用来看凹凸，结合具体题目画一幅简单的图片，比较容易理解。差不多是这样。

4、穿针引线法能判断凹凸性吗？

首先用“穿针引线”的方法粗略判断函数图形。

然后要求一次导，得到它f``(x)，令f``(x)=0算出零点x1,x2(这是一元二次方程，很容易计算)可以判断极大值和极小值，得到单调性。

对于凹凸，需要二次导致f``（x），分别令f``（x）＞0，f``（x）计算出两个区间f''(x)>0区间，f(x)为凹函数，在使f''(x)在小于0的范围内，f(x)为凸函数f''(x0)=0时，x0为拐点。

(手头没笔不容易算，可以自己算一下，理解透彻。欢迎提出哪里不清楚。……）

5、如何看待原函数的增减？

原函数的增减性可以根据其导数大于零小于零等于零来判断，但现在只有导数的增减性，基本上不能判断原函数的图像，只能判断其凹凸性！

本文到此结束